כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\:\)גופןmathcal: בסיסים, קבוצת חזקה, העתקות גלואה, המילטוניאן ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKcla}{\mathcal{A}}\)
\(\newcommand{\MKclb}{\mathcal{B}}\)
\(\newcommand{\MKclc}{\mathcal{C}}\)
\(\newcommand{\MKcld}{\mathcal{D}}\)
\(\newcommand{\MKcle}{\mathcal{E}}\)
\(\newcommand{\MKclf}{\mathcal{F}}\)
\(\newcommand{\MKclg}{\mathcal{G}}\)
\(\newcommand{\MKclh}{\mathcal{H}}\)
\(\newcommand{\MKcli}{\mathcal{I}}\)
\(\newcommand{\MKclj}{J}\)
\(\newcommand{\MKclk}{\mathcal{K}}\)
\(\newcommand{\MKcll}{\mathcal{L}}\)
\(\newcommand{\MKclm}{\mathcal{M}}\)
\(\newcommand{\MKcln}{\mathcal{N}}\)
\(\newcommand{\MKclo}{\mathcal{O}}\)
\(\newcommand{\MKclp}{\mathcal{P}}\)
\(\newcommand{\MKclq}{\mathcal{Q}}\)
\(\newcommand{\MKclr}{\mathcal{R}}\)
\(\newcommand{\MKcls}{\mathcal{S}}\)
\(\newcommand{\MKclt}{\mathcal{T}}\)
\(\newcommand{\MKclu}{\mathcal{U}}\)
\(\newcommand{\MKclv}{\mathcal{V}}\)
\(\newcommand{\MKclw}{\mathcal{W}}\)
\(\newcommand{\MKclx}{\mathcal{X}}\)
\(\newcommand{\MKcly}{\mathcal{Y}}\)
\(\newcommand{\MKclz}{\mathcal{Z}}\)
\(\:\)גופןmathscr: ?\(\:\)
\(\newcommand{\MKsrb}{\mathscr{B}}\)
\(\newcommand{\MKsrf}{\mathscr{F}}\)
\(\:\)גופןmathfrak: אותיות גותיות לעוצמות\(\:\)
\(\newcommand{\MKfka}{\mathfrak{a}}\)
\(\newcommand{\MKfkb}{\mathfrak{b}}\)
\(\newcommand{\MKfkc}{\mathfrak{c}}\)
\(\:\)כתיבת סדרות במהירותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKseq}[3]{#1_{1}#2#1_{2}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKseqz}[3]{#1_{0}#2#1_{1}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseq}[5]{#1_{1}#2#3_{1}#4#1_{2}#2#3_{2}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseqz}[5]{#1_{0}#2#3_{0}#4#1_{1}#2#3_{1}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
1 סדרות
1.1 הגדרות
הגדרה 1.1. סביבות סימטריות של נקודה תהא \(d\) מטריקה על \(\MKreal^{k}\) ותהא \(P_{0}\in\MKreal^{k}\), נסמן (לכל \(0<r\in\MKreal\)):\[\begin{align*}
B_{r}\left(P_{0}\right) & :=\left\{ P\in\MKreal^{k}\mid d_{2}\left(P,P_{0}\right)<r\right\} \\
B_{r}^{\circ}\left(P_{0}\right) & :=\left\{ P\in\MKreal^{k}\mid0<d_{2}\left(P,P_{0}\right)<r\right\} \\
\overline{B_{r}}\left(P_{0}\right) & :=\left\{ P\in\MKreal^{k}\mid d_{2}\left(P,P_{0}\right)\leq r\right\} \\
\overline{B_{r}^{\circ}}\left(P_{0}\right) & :=\left\{ P\in\MKreal^{k}\mid0<d_{2}\left(P,P_{0}\right)\leq r\right\}
\end{align*}\]
\(B_{r}\left(P_{0}\right)\) תיקרא סביבה של \(P_{0}\) (או כדור פתוח ברדיוס \(r\) שמרכזו בנקודה \(P_{0}\)) ו-\(B_{r}^{\circ}\left(P_{0}\right)\) תיקרא סביבה מנוקבת של \(P_{0}\) (או כדור פתוח מנוקב ברדיוס \(r\) שמרכזו בנקודה \(P_{0}\)).
\(\overline{B_{r}\left(P_{0}\right)}\) תיקרא סביבה סגורה של \(P_{0}\) (או כדור פתוח ברדיוס \(r\) שמרכזו בנקודה \(P_{0}\)) ו-\(\overline{B_{r}^{\circ}\left(P_{0}\right)}\) תיקרא סביבה סגורה מנוקבת של \(P_{0}\) (או כדור פתוח מנוקב ברדיוס \(r\) שמרכזו בנקודה \(P_{0}\)).
הגדרה 1.2. קבוצה פתוחה, קבוצה סגורה וקבוצה קומפקטית
נאמר שקבוצה \(U\subseteq\MKreal^{k}\) היא קבוצה חסומה אם קיימים \(P\in\MKreal^{k}\) ו-\(0<r\in\MKreal\) כך ש-\(U\subseteq B_{r}\left(P\right)\).
נאמר שקבוצה \(U\subseteq\MKreal^{k}\) היא קבוצה פתוחה אם לכל \(P\in U\) קיים \(0<r\in\MKreal\) כך ש-\(B_{r}\left(P\right)\subseteq U\).
נאמר שקבוצה \(U\subseteq\MKreal^{k}\) היא קבוצה סגורה אם \(\MKreal^{k}\setminus U\) היא קבוצה פתוחה.
נאמר שקבוצה \(K\subseteq\MKreal^{k}\) היא קבוצה קומפקטית אם היא סגורה וחסומה.
הגדרה 1.3. שפה של קבוצה תהא \(D\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה, נקודה \(P\in D\) תקרא נקודת שפה של \(D\) אם לכל סביבה \(U\) של \(P\) קיימות \(P_{1},P_{2}\in U\) כך ש-\(P_{1}\in D\) ו-\(P_{2}\notin D\), קבוצת נקודות השפה של \(D\) תסומן ב-\(\partial D\).
סימון:
בהינתן סדרת נקודות \(\left(P_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) נסמן גם (לכל \(n\in\MKnatural\)):\[
\begin{pmatrix}x_{n,1}\\
x_{n,2}\\
\vdots\\
x_{n,k}
\end{pmatrix}:=P_{n}
\]
הגדרה 1.4. חסימות נאמר שסדרת נקודות \(\left(P_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ב-\(\MKreal^{k}\) היא סדרה חסומה אם קבוצת איבריה כזו.
הגדרה 1.5. גבול של סדרה תהא \(\left(P_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרת נקודות ב-\(\MKreal^{k}\), נאמר שנקודה \(L\in\MKreal^{k}\) היא גבול של הסדרה \(\left(P_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) אם לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיים \(N\in\MKnatural\) כך שלכל \(N<n\in\MKnatural\) מתקיים \(P_{n}\in B_{\varepsilon}\left(L\right)\). גבול של סדרה הוא יחיד ולכן מוצדק לדבר על הגבול של \(\left(P_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ולסמן:\[
\lim_{n\rightarrow\infty}P_{n}:=L
\]
תהא \(\left(P_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרת נקודות ב-\(\MKreal^{k}\) ונסמן ב-\(x_{nj}\) את הקואורדינטה ה-\(j\) של הנקודה \(P_{n}\) (לכל \(k\geq j\in\MKnatural\) ולכל \(n\in\MKnatural\)).
טענה 1.6. \(\left(P_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) היא סדרה חסומה (ב-\(\MKreal^{k}\)) אם"ם לכל \(k\geq j\in\MKnatural\) הסדרה \(\left(x_{nj}\right)_{n=1}^{\infty}\) היא סדרה חסומה (ב-\(\MKreal\)).
טענה 1.7. אם \(\left(P_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) מתכנסת אז היא גם חסומה.
טענה 1.8. \(\left(P_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) היא סדרה מתכנסת (ב-\(\MKreal^{k}\)) אם"ם לכל \(k\geq j\in\MKnatural\) הסדרה \(\left(x_{n,j}\right)_{n=1}^{\infty}\) היא סדרה מתכנסת (ב-\(\MKreal\)).
משפט 1.9. קבוצה \(U\subseteq\MKreal^{k}\) היא קבוצה סגורה אם"ם לכל סדרת נקודות מתכנסת \(\left(P_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) שכל איבריה ב-\(U\) מתקיים ש-\(\lim_{n\rightarrow\infty}P_{n}\in U\).
משפט 1.10. קבוצה \(K\subseteq\MKreal^{k}\) היא קבוצה קומפקטית אם"ם לכל סדרת נקודות \(\left(P_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) שכל איבריה ב-\(K\) קיימת תת-סדרה מתכנסת שגבולה ב-\(K\).
משפט 1.11. משפט בולצאנו-ויירשטראס אם \(\left(P_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) היא סדרה חסומה אז יש לה תת-סדרה מתכנסת.
\(\:\)
2 פונקציות
2.1 הגדרות
\(\clubsuit\)
עד כה למדנו בקורסי אינפי' על פונקציות שהתחום והטווח שלהן היו תתי-קבוצות של \(\MKreal\) (שהוא מ"ו מממד \(1\)), בקורס זה נעסוק בעיקר בפונקציות מהצורה \(f:D\rightarrow\MKreal^{n}\) כאשר \(D\subseteq\MKreal^{m}\) ובראש ובראשונה בפונקציות כנ"ל המקיימות \(n+m=3\) (יש בדיוק שתי אפשרויות) משום שאת הגרף של אלו ניתן לסרטט במרחב התלת-ממדי.
\(\clubsuit\)
ניתן להסתכל על כל פונקציה מהצורה \(f:\MKreal\rightarrow\MKreal^{n}\) כסדרה סופית של פונקציות שהתחום והטווח שלהן הם תתי-קבוצות של \(\MKreal\), כך:\[
\begin{pmatrix}f_{1}\left(t\right)\\
f_{2}\left(t\right)\\
\vdots\\
f_{n}\left(t\right)
\end{pmatrix}:=f\left(t\right)
\]
\(\clubsuit\)
כמובן שהרעיון שלה הגדרה זו הוא מסילה שתמונתה היא ישר העוברת בנקודת ההשקה "באותו הזמן" של הפונקציה המקורית ובאותו כיוון.
\(\clubsuit\)
הסיבה לדרישה שווקטור הנגזרת יהיה שונה מווקטור האפס היא כדי שההגדרה תתלכד עם קיום ישר משיק.
הגדרה 2.1. נאמר שנקודה \(P\in D\subseteq\MKreal^{n}\) היא נקודה פנימית ב-\(D\) אם קיים \(0<r\in\MKreal\) כך ש-\(B_{r}\left(P\right)\subseteq D\).
הגדרה 2.2. נאמר שפונקציה \(f\)חסומה אם תמונתה היא קבוצה חסומה, כמו כן נאמר ש-\(f\)חסומה בקבוצה\(U\) (שמוכלת בתחום של \(f\)) אם \(f\left(U\right)\) היא קבוצה חסומה.
הגדרה 2.3. גבול של פונקציה בנקודה תהא \(f:D\rightarrow\MKreal^{n}\) פונקציה כנ"ל המוגדרת בסביבה מנוקבת של נקודה \(P_{0}\in\MKreal^{m}\), נאמר שנקודה (או וקטור) \(L\in\MKreal^{n}\) היא גבול של \(f\) ב-\(P_{0}\) אם לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיימת \(0<\delta\in\MKreal\) כך שלכל נקודה \(P\in B_{\delta}^{0}\left(P_{0}\right)\) מתקיים \(f\left(P\right)\in B_{\varepsilon}\left(L\right)\). גבול של פונקציה הוא יחיד ולכן מוצדק לדבר על הגבול של \(f\) ולסמן:\[
\lim_{P\rightarrow P_{0}}f\left(P\right):=L
\]
הגדרה 2.4. רציפות של פונקציה תהא \(f:D\rightarrow\MKreal^{n}\) פונקציה כנ"ל, נאמר ש-\(f\)רציפה בנקודה\(P_{0}\in D\) אם הגבול \(\lim_{P\rightarrow P_{0}}f\left(P\right)\) קיים ושווה ל-\(f\left(P\right)\), נאמר ש-\(f\)רציפה אם \(f\) רציפה ב-\(P'\) לכל \(P'\in D\).
הגדרה 2.5. יהיו \(I\subseteq\MKreal\) מקטע ו-\(2\leq n\in\MKnatural\), פונקציה מהצורה \(\gamma:I\rightarrow\MKreal^{n}\) תקרא מסילה אם היא רציפה בכל רכיב בנפרד1כלומר (במונחי ההערה שלעיל) \(f_{i}\) רציפה לכל \(n\geq i\in\MKnatural\)., התמונה של מסילה נקראת מסלול, ויצירת מסילה שהמסלול שלה הוא קבוצה נתונה תיקרא פרמטריזציה של אותה קבוצה.
הגדרה 2.6. נאמר שמסילה היא מסילה פשוטה אם היא חח"ע.
הגדרה 2.7. תהא \(\gamma:I\rightarrow\MKreal^{n}\) מסילה ויהיו \(t,t'\in I\), וקטור המהירות הממוצעת של \(\gamma\) בין \(t\) ל-\(t'\) הוא הווקטור:\[
\frac{1}{t-t'}\cdot\left[\gamma\left(t\right)-\gamma\left(t'\right)\right]=\frac{1}{t-t'}\cdot\left[\begin{pmatrix}f_{1}\left(t\right)\\
f_{2}\left(t\right)\\
\vdots\\
f_{n}\left(t\right)
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}f_{1}\left(t'\right)\\
f_{2}\left(t'\right)\\
\vdots\\
f_{n}\left(t'\right)
\end{pmatrix}\right]=\frac{1}{t-t'}\cdot\left[\begin{pmatrix}f_{1}\left(t\right)-f_{1}\left(t'\right)\\
f_{2}\left(t\right)-f_{2}\left(t'\right)\\
\vdots\\
f_{n}\left(t\right)-f_{n}\left(t'\right)
\end{pmatrix}\right]
\]
הגדרה 2.8. תהא \(\gamma:I\rightarrow\MKreal^{n}\) מסילה ותהא \(t_{0}\in I\) נקודה פנימית ב-\(I\), נאמר ש-\(\gamma\)גזירה ב-\(t_{0}\) אם קיים הגבול:\[
\lim_{t\rightarrow t_{0}}\left(\frac{1}{t-t_{0}}\cdot\left(\gamma\left(t\right)-\gamma\left(t_{0}\right)\right)\right)
\]ואז נקרא לאותו גבול2שהוא הגבול של וקטורי המהירות הממוצעת בנקודה \(t_{0}\).וקטור הנגזרת של \(\gamma\) בנקודה \(t_{0}\) ונסמן אותו ע"י \(\gamma'\left(t_{0}\right)\).
הגדרה 2.9. תהא \(\gamma:I\rightarrow\MKreal^{n}\) מסילה הגזירה בנקודה פנימית \(t_{0}\), המסילה המשיקה ל-\(\gamma\) בנקודה \(t_{0}\) היא המסילה המוגדרת ע"י (לכל \(t\in\MKreal\)):\[
f\left(t\right):=\gamma\left(t_{0}\right)+\gamma'\left(t_{0}\right)\cdot\left(t-t_{0}\right)
\]
הגדרה 2.10. מסילה \(\gamma:I\rightarrow\MKreal^{n}\) תקרא גזירה ב-\(I\) אם היא גזירה לכל \(t\in I\).
הגדרה 2.11. מסילה \(\gamma:I\rightarrow\MKreal^{n}\) תקרא חלקה אם היא גזירה ב-\(I\) ובנוסף וקטור הנגזרת שלה שונה מווקטור האפס בכל נקודה.
משפט 2.12. תהא \(\gamma:I\rightarrow\MKreal^{n}\) מסילה ותהיינה \(f_{1},f_{2},\ldots,f_{n}\in\MKreal^{I}\) פונקציות כך שלכל \(n\geq j\in\MKnatural\) ולכל \(t\in I\) יתקיים:\[
\gamma\left(t\right)=\begin{pmatrix}f_{1}\left(t\right)\\
f_{2}\left(t\right)\\
\vdots\\
f_{n}\left(t\right)
\end{pmatrix}
\]ראינו בקובץ הטענות ש-\(\gamma\) גזירה בנקודה \(t_{0}\in I\) אם"ם לכל \(n\geq j\in\MKnatural\) הפונקציה \(f_{j}\) גזירה ב-\(t_{0}\) ואז וקטור הנגזרת של \(\gamma\) ב-\(t_{0}\) הוא:\[
\begin{bmatrix}f_{1}'\left(t_{0}\right)\\
f_{2}'\left(t_{0}\right)\\
\vdots\\
f_{n}'\left(t_{0}\right)
\end{bmatrix}
\]לכן נאמר ש-\(\gamma\)גזירה פעמיים בנקודה \(t_{0}\in I\) אם לכל \(n\geq j\in\MKnatural\) הפונקציה \(f_{j}\) גזירה פעמיים ב-\(t_{0}\) ואז וקטור התאוצה של \(\gamma\) ב-\(t_{0}\) הוא:\[
\begin{bmatrix}f_{1}''\left(t_{0}\right)\\
f_{2}''\left(t_{0}\right)\\
\vdots\\
f_{n}''\left(t_{0}\right)
\end{bmatrix}
\]
הגדרה 2.13. כשאנו אומרים "פונקציה מרובת משתנים" כוונתנו לפונקציה שהתחום שלה הוא קבוצת סדרות סופיות כלשהו (למשל \(\MKreal^{n}\)) שהרי מהגדרתה פונקציה אינה יכולה לקבל יותר ממשתנה אחד, הדרך "לעקוף" זאת היא לתת לה משתנה אחד (כגון סדרה) המכיל בתוכו יותר ממשתנה אחד; לעת עתה נעסוק בעיקר בפונקציות מהצורה \(f:D\rightarrow\MKreal\) כאשר \(D\subseteq\MKreal^{2}\), הגרף של פונקציה מצורה זו נקרא יריעה. תהא \(f:D\rightarrow\MKreal\) פונקציה כנ"ל, הגרף של \(f\) הוא תת-קבוצה של מרחב התלת-ממדי \(\MKreal^{3}\)3כאשר המישור הנפרש ע"י צי ה-\(x\) וציר ה-\(y\) ייצג את התחום ואילו הישר שיוצר ציר ה-\(z\) מייצג את הטווח. ומבחינה אינטואיטיבית הוא מהווה מפה תלת-ממדית של "פני השטח" הנוצרים ע"י הפונקציה (הפונקציה קובעת מה יהיה גובה פני הקרקע בכל נקודה במישור); אינטואיציה זו מאפשרת לנו לייצג את היריעה גם במישור כאשר בכל נקודה/אזור אנו כותבים מהו "גובה הפונקציה" בנקודה או באזור הללו, לייצוג כזה קוראים מפה טופוגרפית וכמתבקש לקבוצת הנקודות בגרף של \(f\) שכולן בגובה נתון נקרא קו גובה, כך למשל קו הגובה \(3\) יהיה הקבוצה \(\left\{ \left(x,y,3\right)\in\MKreal^{3}\mid3=f\left(x,y\right)\right\} \).
כל הפונקציות שנעסוק בהן בסעיף זה הן פונקציות מהצורה \(f:D\rightarrow\MKreal\) כאשר \(D\subseteq\MKreal^{n}\) ולכן לא אטרח לציין זאת בכל פעם מחדש.
הגדרה 2.14. נקודות קיצון כלליות (גלובליות) תהא \(f:D\rightarrow\MKreal\) פונקציה ותהא \(A\subseteq D\), נאמר שנקודה \(P\in A\) היא נקודת מקסימום/מינימום כללית (גלובלית) של \(f\) ב-\(A\) אם לכל נקודה \(P'\in D\) מתקיים \(f\left(P'\right)\leq f\left(P\right)\) (מקסימום) או \(f\left(P'\right)\geq f\left(P\right)\) (מינימום) ובמקרה כזה הערך \(f\left(P\right)\) יקרא הערך המקסימלי/המינימלי של \(f\) ב-\(A\).
הגדרה 2.15. נקודות קיצון מקומיות תהא \(f\) פונקציה המוגדרת בסביבה מלאה של נקודה \(P\in\MKreal^{n}\), נאמר ש-\(P\) היא נקודת מקסימום/מינימום מקומית של \(f\) אם קיימת סביבה מלאה של \(P\) שבה \(P\) היא נקודת מקסימות כללית של \(f\).
טענה 2.16. אם לפונקציה \(f:D\rightarrow\MKreal^{n}\) יש גבול בנקודה \(P_{0}\in D\subseteq\MKreal^{m}\) אז קיימת סביבה מנוקבת \(U\subseteq D\) של \(P_{0}\) כך ש-\(f\left(U\right)\) היא קבוצה חסומה.
משפט 2.17. תנאי היינה לגבול של פונקציה בנקודה תהא \(f:D\rightarrow\MKreal^{n}\) פונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת \(U\) של נקודה \(P_{0}\in\MKreal^{m}\) (\(D\subseteq\MKreal^{m}\)). תנאי הכרחי ומספיק לכך ש-\(\lim_{P\rightarrow P_{0}}f\left(P\right)=L\in\MKreal^{n}\) הוא שלכל סדרת נקודות \(\left(P_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ב-\(U\) המתכנסת ל-\(P_{0}\) מתקיים \(\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(P_{n}\right)=L\).
מסקנה 2.18. תנאי היינה לרציפות של פונקציה בנקודה תהא \(f:D\rightarrow\MKreal^{n}\) פונקציה המוגדרת בסביבה מלאה \(U\) של נקודה \(P_{0}\in\MKreal^{m}\) (\(D\subseteq\MKreal^{m}\)). תנאי הכרחי ומספיק לכך ש-\(f\) רציפה ב-\(P_{0}\) הוא שלכל סדרת נקודות \(\left(P_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ב-\(U\) המתכנסת ל-\(P_{0}\) מתקיים \(\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(P_{n}\right)=f\left(P_{0}\right)\).
משפט 2.19. משפט ההצבה בגבולות תהיינה \(f:D_{1}\rightarrow D_{2}\) ו-\(g:D_{2}\rightarrow\MKreal^{k}\) (כאשר \(D_{1}\subseteq\MKreal^{m}\) ו-\(D_{2}\subseteq\MKreal^{n}\)) ותהיינה \(P_{0}\in D_{1}\) ו-\(Q_{0}\in D_{2}\) נקודות פנימיות (בהתאמה).
אם ל-\(g\) יש גבול ב-\(Q_{0}\), ל-\(f\) יש גבול ב-\(P_{0}\) ו-\(\lim_{P\rightarrow P_{0}}f\left(P\right)=Q_{0}\), ובנוסף קיימת סביבה מנוקבת \(U\) של \(P_{0}\) כך שלכל \(P\in U\) מתקיים \(f\left(P\right)\neq Q_{0}\), אז ל-\(g\circ f\) יש גבול ב-\(P_{0}\) ומתקיים:\[
\lim_{P\rightarrow P_{0}}g\left(f\left(P\right)\right)=\lim_{Q\rightarrow Q_{0}}g\left(Q\right)
\]
אם \(f\) ו-\(g\) רציפות ב-\(P_{0}\) וב-\(Q_{0}\) (בהתאמה) אז \(g\circ f\) רציפה ב-\(P_{0}\) ומתקיים \(g\left(f\left(P_{0}\right)\right)=g\left(Q_{0}\right)\).
תהא \(t_{0}\in I\) נקודה פנימית ב-\(I\), \(\gamma\) גזירה בנקודה \(t_{0}\in I\) אם"ם לכל \(n\geq j\in\MKnatural\) הפונקציה \(f_{j}\) גזירה ב-\(t_{0}\) ואז וקטור הנגזרת של \(\gamma\) ב-\(t_{0}\) הוא:\[
\begin{bmatrix}f_{1}'\left(t_{0}\right)\\
f_{2}'\left(t_{0}\right)\\
\vdots\\
f_{n}'\left(t_{0}\right)
\end{bmatrix}
\]
משפט 2.21. יהיו \(a,b\in\MKreal\) כך ש-\(a<b\) ותהיינה \(f,g:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal\) פונקציות רציפות בקטע \(\left[a,b\right]\) וגזירות בקטע \(\left(a,b\right)\) כך ש-\(g'\left(t\right)\neq0\) לכל \(t\in\left(a,b\right)\). תהא גם \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal^{2}\) מסילה המוגדרת ע"י (לכל \(t\in\left[a,b\right]\)):\[
\gamma\left(t\right):=\begin{pmatrix}g\left(t\right)\\
f\left(t\right)
\end{pmatrix}
\]קיימת נקודה \(c\in\left(a,b\right)\) כך שמתקיים:\[
\frac{g\left(b\right)-g\left(a\right)}{g'\left(c\right)}\cdot\gamma'\left(c\right)=\gamma\left(b\right)-\gamma\left(a\right)
\]
\(\clubsuit\)
כלומר משפט הערך הממוצע של קושי אומר שקיימת נקודה \(c\in\left(a,b\right)\) שבה שיפוע הישר המשיק למסלול של \(\gamma\) הוא בדיוק השיפוע של הקטע המחבר בין \(\gamma\left(a\right)\) ל-\(\gamma\left(b\right)\).
\(\clubsuit\)
כדי להוכיח את המשפט יש להשתמש במשפט הערך הממוצע של קושי, ע"פ משפט הערך הממוצע של קושי נובע קיימת \(c\in\left(a,b\right)\) כך שמתקיים:\[
\frac{f'\left(c\right)}{g'\left(c\right)}=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{g\left(b\right)-g\left(a\right)}
\]וממילא גם:\[
\frac{g\left(b\right)-g\left(a\right)}{g'\left(c\right)}\cdot f'\left(c\right)=f\left(b\right)-f\left(a\right)
\]ומכאן שע"פ המשפט הקודם (2.5) מתקיים:\[
\frac{g\left(b\right)-g\left(a\right)}{g'\left(c\right)}\cdot\gamma'\left(t_{0}\right)=\frac{g\left(b\right)-g\left(a\right)}{g'\left(c\right)}\cdot\begin{bmatrix}f'\left(c\right)\\
g'\left(c\right)
\end{bmatrix}=\begin{pmatrix}f\left(b\right)-f\left(a\right)\\
g\left(b\right)-g\left(a\right)
\end{pmatrix}=\gamma\left(b\right)-\gamma\left(a\right)
\]
2.3 פונקציות מרובות משתנים
כל הפונקציות שנעסוק בהן בסעיף זה הן פונקציות מהצורה \(f:D\rightarrow\MKreal\) כאשר \(D\subseteq\MKreal^{n}\) ולכן לא אטרח לציין זאת בכל פעם מחדש.
טענה 2.22. תהא \(f\) פונקציה כך של-\(f\) יש גבול \(L\in\MKreal\) בנקודה \(P_{0}\in\MKreal^{n}\).
אם \(0<L\) אז קיימת סביבה מנוקבת \(U\) של \(P_{0}\) כך שלכל \(P\in U\) מתקיים \(\frac{L}{2}<f\left(P\right)<\frac{3L}{2}\),
ואם \(L<0\) אז קיימת סביבה מנוקבת \(U\) של \(P_{0}\) כך שלכל \(P\in U\) מתקיים \(\frac{3L}{2}<f\left(P\right)<\frac{L}{2}\).
מסקנה 2.23. תהא \(f\) פונקציה כך של-\(f\) יש גבול \(L\in\MKreal\) בנקודה \(P_{0}\in\MKreal^{m}\).
אם \(0<L\) אז קיימת סביבה מנוקבת של \(P_{0}\) שבה \(f\) חיובית ואם \(L<0\) אז קיימת סביבה מנוקבת של \(P_{0}\) שבה \(f\) שלילית.
משפט 2.24. "האנלוג הרציף של תנאי היינה" תהא \(f\) פונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של נקודה \(P_{0}\in\MKreal^{n}\), ל-\(f\) יש גבול \(L\in\MKreal\) ב-\(P_{0}\) אם"ם לכל מסילה \(\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal^{m}\) המקיימת \(\gamma\left(\left(a,b\right]\right)\subseteq D\setminus\left\{ P_{0}\right\} \) ו-\(\gamma\left(a\right)=P_{0}\) מתקיים:\[
\lim_{t\rightarrow a^{+}}\left(f\circ\gamma\right)\left(t\right)=L
\]
\(\clubsuit\)
נזכור שמהגדרתה מסילה היא פונקציה רציפה ולכן \(\lim_{x\rightarrow a^{+}}\gamma\left(t\right)=\gamma\left(a\right)=P_{0}\).
\(\clubsuit\)
נשים לב ש-\(f\circ\gamma\) היא פונקציה שהתחום שלה הוא \(\left(a,b\right]\) והטווח שלה הוא \(D\setminus\left\{ P_{0}\right\} \).
משפט 2.25. אריתמטיקה של גבולות תהיינה \(f\) ו-\(g\) פונקציות כך שקיימים הגבולות (עבור \(P_{0}\in\MKreal^{n}\)):\[
L_{1}:=\lim_{P\rightarrow P_{0}}f\left(P\right),\ L_{2}:=\lim_{P\rightarrow P_{0}}g\left(P\right)
\]מתקיימים ארבעת הפסוקים הבאים:
לפונקציה \(f+g\) יש גבול בנקודה \(P_{0}\) ןערכו הוא \(L_{1}+L_{2}\).
לפונקציה \(f\cdot g\) יש גבול בנקודה \(P_{0}\) וערכו הוא \(L_{1}\cdot L_{2}\).
אם \(L_{2}\neq0\) אז לפונקציה \(\frac{1}{g}\) יש גבול בנקודה \(P_{0}\) וערכו הוא \(\frac{1}{L_{2}}\).
אם \(L_{2}\neq0\) אז לפונקציה \(\frac{f}{g}\) יש גבול בנקודה \(P_{0}\) וערכו הוא \(\frac{L_{1}}{L_{2}}\).
מסקנה 2.26. אריתמטיקה של רציפות תהיינה \(f\) ו-\(g\) פונקציות רציפות בנקודה \(P_{0}\in\MKreal^{n}\). מתקיימים ארבעת הפסוקים הבאים:
אם \(g\left(P_{0}\right)\neq0\) אז הפונקציה \(\frac{1}{g}\) רציפה ב-\(P_{0}\) ו-\(\left(\frac{1}{g}\right)\left(P_{0}\right)=\frac{1}{g\left(P_{0}\right)}\).
אם \(g\left(P_{0}\right)\neq0\) אז הפונקציה \(\frac{1}{g}\) רציפה ב-\(P_{0}\) ו-\(\left(\frac{f}{g}\right)\left(P_{0}\right)=\frac{f\left(P_{0}\right)}{g\left(P_{0}\right)}\).
משפט 2.27. תהיינה \(f\) ו-\(g\) פונקציות כך שקיימים הגבולות (עבור \(P_{0}\in\MKreal^{n}\)):\[
L_{1}:=\lim_{P\rightarrow P_{0}}f\left(P\right),\ L_{2}:=\lim_{P\rightarrow P_{0}}g\left(P\right)
\]
כלל חסומה ואפסה: אם \(L_{1}=0\) ו-\(g\) חסומה בסביבה מנוקבת של \(P_{0}\) אז ל-\(f\cdot g\) יש גבול ב-\(P_{0}\) והוא \(0\).
אם קיימת סביבה מנוקבת \(U\) של \(P_{0}\) כך שלכל \(P\in U\) מתקיים \(f\left(P\right)\leq g\left(P\right)\) אז \(L_{1}\leq L_{2}\).
אם \(L_{1}<L_{2}\) אז קיימת סביבה מנוקבת \(U\) של \(P_{0}\) כך שלכל \(P\in U\) מתקיים \(f\left(P\right)<g\left(P\right)\).
\(\clubsuit\)
כפי שראינו באינפי'1גם כאן א"ש חזק בין \(f\) ל-\(g\) בסעיף2לא יגרום לא"ש חזק בין הגבולות ובסעיף3א"א לוותר על הא"ש החזק.
משפט 2.28. משפט הכריך תהיינה \(f\), \(g\) ו-\(h\) פונקציות המוגדרות בסביבה מנוקבת \(U\) של נקודה \(P_{0}\in\MKreal^{n}\). אם לכל \(P\in U\) מתקיים \(f\left(P\right)\leq g\left(P\right)\leq h\left(P\right)\) ובנוסף ל-\(f\) ול-\(h\) יש גבול בנקודה \(P_{0}\) כך שמתקיים:\[
L:=\lim_{P\rightarrow P_{0}}f\left(P\right)=\lim_{P\rightarrow P_{0}}h\left(P\right)
\]אז גם ל-\(g\) יש גבול ב-\(P_{0}\) ומתקיים:\[
\lim_{P\rightarrow P_{0}}g\left(P\right)=L
\]
משפט 2.29. משפט ויירשטראס הראשון תהא \(f\) פונקציה המוגדרת בעל קבוצה קומפקטית \(\emptyset\neq K\subseteq\MKreal^{n}\), \(f\) חסומה ב-\(K\).
משפט 2.30. עיקרון המקסימום והמינימום של ויירשטראס (משפט ויירשטראס השני) תהא \(f\) פונקציה המוגדרת בעל קבוצה קומפקטית \(\emptyset\neq K\subseteq\MKreal^{n}\), \(f\) מקבלת מקסימום ומינימום ב-\(K\) (או במילים אחרות \(f\left(K\right)\) היא קטע סגור ב-\(\MKreal\)).
רוצים לפרגן לי על בניית האתר וכתיבת הסיכומים? אתם מוזמנים לתת טיפ.פורמטים נוספים:
#scrollButton {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
cursor: pointer;
background-color: #084149;
opacity: 80%;
}
#scrollImage {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
opacity: 80%;
}
function scrollToTop() {
window.scrollTo({ top: 0, behavior: 'smooth' });
}
דפי האתרדף הביתאודותצור קשרמפת אתרענפים מתמטייםהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםאקסיומת השלמותסיכומי הרצאות במתמטיקהדף הביתתרומהאודותהקדשהמפת אתרהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםצור קשרעודלאתר הקודםsrayaa.comעִבְלִיקְסתנ"ך ברויאר מוקלט
( function() {
var skipLinkTarget = document.querySelector( 'main' ),
sibling,
skipLinkTargetID,
skipLink;
// Early exit if a skip-link target can't be located.
if ( ! skipLinkTarget ) {
return;
}
/*
* Get the site wrapper.
* The skip-link will be injected in the beginning of it.
*/
sibling = document.querySelector( '.wp-site-blocks' );
// Early exit if the root element was not found.
if ( ! sibling ) {
return;
}
// Get the skip-link target's ID, and generate one if it doesn't exist.
skipLinkTargetID = skipLinkTarget.id;
if ( ! skipLinkTargetID ) {
skipLinkTargetID = 'wp--skip-link--target';
skipLinkTarget.id = skipLinkTargetID;
}
// Create the skip link.
skipLink = document.createElement( 'a' );
skipLink.classList.add( 'skip-link', 'screen-reader-text' );
skipLink.href = '#' + skipLinkTargetID;
skipLink.innerHTML = 'לדלג לתוכן';
// Inject the skip link.
sibling.parentElement.insertBefore( skipLink, sibling );
}() );